Artes visuales - 1

La escuela de Atenas de Rafael es la quinta columna que la razón tiene en el mismo corazón de uno de los grandes templos de la superstición, el Vaticano, y forma parte de la decoración de la Stanzia della Signatura.

Un Rafael de tan solo veintisiete años pintó reunidos en esta obra a los grandes sabios de la Antigüedad: filósofos y matemáticos se pasean, piensan y charlan bajo unas imponentes arquitecturas renacentistas.

En el centro están Platón, señalando hacia arriba, en alusión a su mundo de las ideas, y Aristóteles, que con la palma de su mano horizontal hace refencia al mundo terrenal y a la experiencia sensible.

En el resto del fresco podemos encontrarnos, ente otros, al viejo Parménides acompañado de sus discípulo Zenón; a Zaratustra y Ptolomeo sostienen sendas esferas representación del Firmamento y de la Tierra; a Euclides dibujando figuras geométricas mediante un compás; a Protágoras, aquel que dijo aquello de que "el hombre es la medida de todas las cosas"; a Pitágoras escribiendo sobre un gran libro acerca de las armonías musicales rodeado de atentos discípulos y vigilado por Arquímedes; a Epicuro, el filósofo del placer, tocado con una corona de hiedra; a Diógenes el Cínico leyendo tranquilamente; o a un Heráclito melancólico reflexionando sin duda sobre el devenir (en la ampliación se indica la posición de los personajes mencionados).

Algunos de los rostros parece ser que corresponden a personajes contemporáneos del autor: por ejemplo, Platón tendría el rostro de Leonardo, mientras que Heráclito llevaría el de Miguel Ángel. El propio Rafael aparece por ahí...

Un grupo genial, sin duda.

Si una estructura de alambre se introduce en una cubeta con agua jabonosa y después se saca con cuidado se obtiene una fina película de jabón, una gran pompa con una particularidad: no existe otra superficie que tenga un área menor para la estructura dada.

Dos son las características de estas superficies mínimas que las hacen ideales para la construcción de cubiertas arquitectónicas: en primer lugar, es evidente que al ser la superficie mínima también lo es su peso, lo que permite desarrollos de gran ligereza. En segundo lugar, la tensión superficial en estas formas está completamente equilibrada (como ocurre en las pompas de jabón), lo que dota a las construcciones de gran estabilidad.

La cubierta del Estadio Olímpico de Munich, que cubre y unifica el estadio, las pistas y las piscinas, fue un hito en la utilización de estas técnicas por la enorme escala a la que se aplicaron y por el uso de procedimientos matemáticos informatizados en la determinación de su forma y comportamiento.

Pero no son las cuestiones técnicas lo primero que llama la atención sobre estas estructuras: ante ellas uno cree encontrarse ante algo "natural". Alejadas de las rígidas pautas ortogonales de la arquitectura moderna, las superficies mínimas presentan formas orgánicas de una elegancia extraordinaria. Es la elegancia que el ojo descubre en lo que, lejos de imponerse al medio, se adapta a él.

web: Olympic Games Tent

web: Architecture and Tent Roofs (Soap Films)

Cuando contemplamos un cuadro pocas veces nos percatamos de su contenido esencial. Algo así sucede con este cuadro de Nicolai Petrovich Bogdanov Belski (1868-1945) titulado Ejercicio Complicado (1895). El pintor ruso sentía una especial predilección por la belleza de los paisajes, niños y escuelas rurales de su país, ejemplo de lo cual es esta escena en la que se ve a unos jóvenes estudiantes que tratan de resolver mentalmente el siguiente ejercicio aritmético:

El cálculo puede resultar fácil o difícil: depende del cristal con el que se mire. Para el personaje del maestro, que mira atentamente a sus alumnos, resulta sencillo porque conoce las propiedades de los números. Se trata del educador Serguei A. Rachinski (1833-1902), quien influido por las ideas literarias de Tolstoi (autor de las conocidísimas Guerra y paz y Ana Karenina), se dedicó a la instrucción pública y a enseñar a niños campesinos en lugar de dedicarse a su cátedra de Ciencias Naturales en la universidad. “Es necesario que todos los rusos cultos conozcan los libros para niños del conde L.N.Tolstoi” (Alfabeto y Nuevo Alfabeto, p.141, Moscú, 1978).

Al italiano Arnaldo Pomodoro le marcó para siempre una bomba que cayó en su pueblo, cuando tenía quince años, durante la Segunda Guerra Mundial. Quizá por eso muchas de sus obras sean esferas rotas, mordidas, con las que simboliza los horrores de la guerra y el mal uso de una tecnología que, por otra parte, le fascina.

La esfera ha sido desde antiguo símbolo de perfección. De hecho, Parménides describió todo lo existente es inmutable, homogéneo, único y ... esférico. Sin embargo, las pulidas y homogéneas superficies de Pomodoro aparecen rasgadas y muestran un interior heterogéneo y agresivo.

Cada uno puede interpretar lo que quiera. Podemos pensar en la capa externa como la aparente perfección y simplicidad de un mundo que, en realidad, se muestra en el interior complejo y fracturado. O también, se me ocurre, puede estar mostrándonos a la vez la belleza del ideal y la tozuda fealdad de los hechos.

En fin, cada uno puede interpretar lo que quiera, y más en esta Esfera con esfera, en la que en descubrimos en el interior de la gran bola brillante otra esfera, también rota a su vez.

Pintura: La Voix des Airs (Magritte).

Los retratos de Hans Holbein se caracterizaron por ser "puros ejercicios de exaltación de la dignidad de la persona retratada" [El gran arte - Pintura, p.277], aunque esta obra, Los embajadores, es mucho más.

Los dos retratados nos muestran al hombre de acción junto al de vida contemplativa, y entre ellos, en dos estantes, distintos instrumentos y libros simbolizan sus disciplinas más apreciadas: la artimética (representada por un libro de Peter Apian), la geometría, la música y la astronomía.

Sin embargo, lo que más llama la atención es la extraña figura que aparece en diagonal a sus pies. Se trata de una anamorfosis, una figura que solo se verá correctamente si miramos el cuadro desde uno de sus extremos. Si lo hacemos, descubriremos que se trata de una calavera.

La calavera ha sido siempre el memento mori por excelencia, el símbolo preferido por los pintores para recordarnos a los humanos que antes o después, pese a todas nuestras vanidades, acabaremos encontrando la muerte. Pero en este caso la distorsión habla además de lo engañoso de los sentidos y nos avisa de que tras las apariencias solo podremos descubrir la verdad si miramos correctamente.

Este cuadro, Un mundo, fue pintado por Ángeles Santos en Valladolid en 1929. Fue una auténtica sorpresa. Como lo fue para mí cuando lo contemplé por primera vez más de cincuenta años después. Un mundo cúbico colgando en un cielo poblado de nubes y estrellas. Complejo y naïf, a medio camino de la ciencia ficción y del surrealismo más figurativo, este mundo de juguete, tierno y desasosegante a un tiempo, es, ante todo, dos cosas: femenino y moderno.

Para más mundos cúbicos, ver El sentido de la vida (Monty Python).

La relación entre geometría y mística viene de largo, como se cuenta en Matemática y misticismo en Occidente. Sin embargo, el escrito, pintor y visionario William Blake le daría una nueva vuelta de tuerca al asunto imaginando a un poder oscuro (Urizen), símbolo de las fuerzas de la razón, enfrentado a las de la imaginación (Los) y al espíritu de rebelión (Orc) [Britannica].

En la ilustración, Urizen traza a compás la jaula en la que la imaginación de los hombres se verá atrapada. Para Blake la jaula no es otra cosa que la razón, que apartada "de su centro, la imaginación, se convierte en un envolvente poder satánico" [Alquimia & Mística, p.632].

Misticismos aparte y visto en positivo, creo que Blake está en lo cierto al rechazar la separación de las fuerzas de Urizen y Los, pues la razón sin la imaginación es algo estéril, mientras que la imaginación, sin la razón, se convierte en puro sin sentido.

Por cierto: el motivo del compás sería usado por Blake de nuevo un año después, aunque esta vez lo pondría en manos de Newton. ¿Se inspiraría para ambas obras en una ilustración del siglo XIII en la que Dios mide el mundo con un compás?

Este cuadro, que representa el mito cristiano del descendimiento, es puro ritmo: pese a encajonar diez personajes en un pequeño y algo tortuoso espacio (que le pregunten si no al que está encaramado en la cruz), van der Weyden consigue mediante paralelismos y convergencias que los personajes interpreten una especie de danza de figuras.

El paralelismo que primero salta a la vista es el de Jesús y María (obsérvense los brazos de ambos), pero hay más. La mujer tocada de blanco de la izquierda inclina la cabeza en paralelo al hombre calvo de la derecha. Otra pareja es la formada por las dos figurasde tocado oscuro: ambas inclinan sus cabezas al contrario que la pareja anterior, pero en paralelo con la pareja protagonista.

Dos figuras se doblan en los extremos de la composición para formar dos paréntesis que enmarcan todo el conjunto y que convergen en la cabeza del personaje subido al madero, como también convergen las cabezas de Jesús y María en la de Juan Bautista, el pesonajes vestido de rojo, para formar un perfecto ángulo recto.

Lo dicho ni agota la geometría del cuadro ni por supuesto la maestría de van der Weyden: la perfección con la que representa rostros, colores y texturas resulta difícil de creer.

Joaquín Torres García fue el creador del movimiento llamado Universalismo Constructivo. En su obra abundan cuadros compuestos con celdas en las que acumula todo tipo de signos y símbolos y en las que utiliza frecuentemente la razón áurea. Con sus pinturas buscaba expresar "geometría, orden, síntesis, constructión y ritmo."

Dijo: "El artista opera con formas y no con cosas, porque lo que él está haciendo es un ordenamiento plástico y no la reproducción de un aspecto natural. Nuestro sistema de proporciones se basa en la sección áurea, el segmento dividido en media y extrema razón." [web: Museo Torres García]

Pintaba el mapa del mundo con el Sur arriba y el Norte abajo: todo un símbolo.

A principios del siglo XX unos misteriosos personajes le encargaron a Gaudí el diseño de un gran hotel para la ciudad de Nueva York. El proyecto nunca se llevó a cabo, pero en 2002 pareció resucitar cuando el arquitecto Paul Laffoley propuso su construcción en la Zona Cero, el solar de las desaparecidas Torres Gemelas.

El diseño es una especie de mezcla de la casa Milá ("la Pedrera") y la Sagrada Familia, y se caracteriza por la utilización del arco catenario, tan habitual en la obra del arquitecto catalán. Este arco consistente en una catenaria invertida y tiene la estupenda propiedad de resistir las cargas en compresión, no en tensión.

Gaudí no trabajaba sobre tablero ni usaba las herramientas matemáticas ortodoxas, sino que, guiado por una intuición física increible, ponía a prueba sus ideas mediante complejos artilugios polifuniculares construidos con cuerdas y pesos. Sin embargo, sus construcciones están repletas de cosas como cónicas, parabolides hiperbólicos, catenarias o espirales logarítmicas.

El proyecto del Gran Hotel no ha sido el elegido. Y la verdad es que, visto lo que están haciendo con la Sagrada Familia, me alegro.

Muchos elementos de este cuadro son típicos en Dalí: el paisaje de Cadaqués, los objetos volantes, la granada, el reflejo perfecto.

Pero algo se sale de lo normal, y es ese anexo inexplicable del título que brota del asa de la taza, que obliga a prolongar el lienzo hacia arriba, y que es en realidad completamente explicable, pese a la estupenda ironía del pintor catalán: resulta que las dimensiones del cuadro están en razón aúrea, siendo el anexo el elemento que justifica tales dimensiones.

Como no podía ser menos en Dalí, tema y estructura están ligados: si observamos la sombra negra de la parte alta del cuadro veremos que es el arranque de una espiral áurea que controla toda la composición del cuadro y que termina precisamente en la base de la taza.

Siempre nos podremos preguntar qué fue primero, si la espiral o el anexo. Lo que sí sabemos es que por la época en que pintó esta obra mantuvo intensas conversaciones con el Matila Ghyka, autor del libro The Geometry of Art and Life.

Los mandalas son diagramas simbólicos utilizados como instrumentos de meditación. Son representaciones del universo y se pretende que sirvan como puntos de acumulación de fuerzas universales. El de Kalachacra en concreto simboliza la rueda del tiempo, y es una de las formas en que se venera al Buda en algunas escuelas tántricas.

Aspectos místicos aparte, lo cierto es que hay pocas representaciones tan buenas como el mandala de Kalachacra del viaje interior: mediante lo que parece un juego de espejos penetramos a través de una secuencia indefinible de salas o niveles en profundidades desconocidas. Sin duda, una buena excusa para meditar.

En una antigua serie de televisión imaginaron una máquina del tiempo en forma de túnel. Aquí lo tenemos. También me recuerda a una de las secuencias de Star Trek I en las que Spock viaja en solitario a través de Vger.

De esta estatua de Fibonacci lo que más me gusta es el contraste entre el aire de modernidad del rostro y lo medieval del atuendo. Estamos demasiado acostumbrados a pensar en la Edad Media como una época de oscuridad por contraste con el luminoso Renacimiento, pero no hay que olvidar que si el Renacimiento fue lo que fue se debió al trabajo de hombres que como Fibonacci supieron recoger la herencia de culturas tan distintas como la griega o la árabe.

Gian Marco Rinaldi es un profesor de matemáticas que vive en Torre del Lago, a solo 15 km de Pisa, y que ha tenido la gentileza de enviarnos la azarosa historia de esta obra: ► La estatua de Fibonacci.

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	Paloma envió esta magnífica fotografía de la estatua de Fibonacci restaurada.
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Fibonacci. Giovanni Paganucci, 1863. Pisa, Camposanto Monumentale. (36 Kb)
Foto: Frank Johnson, 1978. web: www.mscs.dal.ca/Fibonacci/statue.html

Ver un cuadro de Vermeer es un auténtico privilegio, una experiencia única: al contemplar sus obras uno no asiste a una escena más o menos lograda. Lo que percibimos es el mismo tiempo representado en una sola imagen: mágicamente vemos caer la leche, o moverse la cortina empujada por el viento, o intuimos cómo el rostro de una joven acaba de mudar a causa de nuestra irrupción. Pero lo más asombroso es que vemos pensar, pues así es como Vermeer pinta a sus personajes: ensimismados, y pensando.

El esquema de sus lienzos casi siempre sigue el mismo modelo: una ventana a la izquierda por donde penetra la luz que ilumina una escena de interior en la que se encuentra un personaje dedicado a alguna actividad apacible. Tal aparente sencillez compositiva le son suficientes a Vermeer para alterar el trascurso del tiempo y hacernos dudar de nuestros sentidos.

El exponente de Lyapunov "describe la rapidez con la que aumenta o disminuye una perturbación en un sistema dinámico. Esto hace que sirva para señalar la diferencia entre el orden y el caos". Cuando al chileno Mario Markus, que intentaba modelizar el comportamiento de la levadura de la cerveza, se le ocurrió representar gráficamente los exponentes de Lyapunov de las ecuaciones con las que trabajaba, quedó sorprendido ante los siempre distintos y fascinantes gráficos que obtuvo. Desde entonces reparte su tiempo entre la investigación científica, las exposiciones de sus gráficos y los recitales de poesía.

¿Son fractales estas figuras? Leamos de nuevo a Markus: "Si se les define, como de costumbre, como figuras con una dimensión no entera, entonces no lo son (no son tan afiligranadas; son simplemente bidimensionales). Sin embargo, en los bordes de las figuras vuelven a encontrarse una y otra vez las mismas formas en todos los tamaños; ésta es la llamada autosemejanza, otra propiedad de las fractales." [Los diagramas de Lyapunov, p.70 y ss.]

Sea como sea, lo cierto es que su aparente tridimensionalidad intensifica la sensación de estar explorando extraños y sorprendentes mundos de infinita profundidad.

Se pueden ver más diagramas de Lyapunov en la Galería de fractales, números 22, 27 y 28.

Una taracea es una obra hecha en madera a base de incrustar trozos de otras maderas o materiales. La que aquí vemos es una de la realizadas por Fra Giovanni da Verona alrededor de 1520.

En ella se pueden ver algunos poliedros basados en los dibujos del libro de Luca Pacioli Divina proportione (de arriba abajo: una aproximación poliédrica a la esfera, un icosaedro y un icosaedro truncado).

Otros estupendos paneles se pueden contemplar en la página web Las taraceas de Fra Giovanni. La ilusión de profundidad y el trampantojo de las puertas son dignos de admiración.

Luis Ortega manda este dibujo perteneciente a los cuadernos de notas de Leonardo da Vinci, en el que se ve perfectamente su costumbre de escribir de derecha a izquierda. Leonardo era zurdo, y escribía sus notas en sentido inverso incluso con más facilidad que en el habitual, "en parte para hacer más difícil leerlas a los curiosos". [Izquierda y derecha en el cosmos, p.105.]

En cuanto a su interés por las proporciones, al dibujo solo se le pueden añadir sus propias palabras: "La proporción se encuentra no solamente en los números y medidas, sino también en los sonidos, pesos, tiempos, espacios y cualquier clase de energía que pueda existir. " [Cuadernos de notas, p.101.]

Aunque he incluido este cuadro en la galería de retratos, no me resisto a presentar también aquí esta magnífica joya atribuida, con no demasiada seguridad, a Jacopo de Barbari.

El señor del hábito es Luca Pacioli, famoso por sus publicaciones matemáticas, una de las cuales, la Summa, podría ser la que se ve cerrada sobre la mesa. En cuanto al volumen abierto que Pacioli señala con su mano izquierda, se trata del libro XIII de los Elementos de Euclides, a juzgar por el gráfico que aparece en el pizarrín.

Y luego están los poliedros: un dodecaedro regular abajo a la derecha y un extraño rombocuboctaedro transparente que cuelga a la izquierda medio lleno de agua.

¿Y el elegante señor que aparece a la derecha?, ¿quién es?, ¿qué hace ahí? ¿No os parece que todo el cuadro tiene un aire misterioso, como si quisiese contar más de lo que aparenta? Se admiten conjeturas.

Mª Carmen escribe:

"Aquí te mando la Casa Moebius. Ben van Berkel y Caroline Bros utilizan los diagramas como una "máquina abstracta" que puede generar diferentes formas de trabajar. Sus diagramas están muy influenciados por Deleuze, como los de todos. La arquitectura diagramática se ha puesto de moda. Kolhaas también los utiliza. Se supone que un diagrama tiene que contar una generalidad, simplificarla, tal vez. Pero es completo hasta el punto en que lo puedes llevar hasta lo más concreto." (Hay más ampliando la imagen.)

Nos faltaba una cinta de Moebius arquitectónica y aquí la tenemos. No me atrevo a juzgar los valores de la casa, pero los diagramas son francamente interesantes: y es que en muchas ocasiones los instrumentos de diseño se convierten en vehículos de expresión en sí mismos.

Para ver fotografías de la casa se puede descargar una presentación en Powerpoint del propio van Berkel en la página web: Stepwise plan Ben van Berkel.

Pocos edificios tienen la elegancia del Partenón. Algunos dicen que se debe a que muchas de sus medidas guardan la razón áurea [The Power of Limits, p.108; web: The Golden section in architecture]. En cualquier caso, en la construcción de este templo se cuidó hasta el más pequeño detalle para que resultase agradable a la vista de aquellos que lo erigieron:

"Todo el conjunto buscaba la máxima riqueza de líneas, utilizando para ello compensaciones ópticas dirigidas a aligerar el peso y percepción del edificio en el espacio: [...] las columnas exteriores disminuyen su diámetro con la altura (meiosis), muestran un ligero ensanchamiento de sus aristas aproximadamente a un tercio de su altura (éntasis) y se inclinan todas hacia el interior formando un ángulo cercano a un grado." [Arquitectura, p.281].

Es una pena que por la rapiña de los países "civilizados" tengamos que verlo desnudado de sus magníficos relieves.

Es increíble el poder de sugerencia que tiene la cinta de Moebius para los artistas. Aquí tenemos otro ejemplo, en este caso tridimensional, escultórico, en lo que quizá sea su medio natural. Max Bill, artista suizo nacido en 1908, estaba en 1935 trabajando distintas posibilidades para una escultura colgante cuando creó un objeto de una sola cara al que llamó Cinta sin fin. Su investigación no fue por tanto científica ni matemática, sino puramente estética. En aquel momento no era consciente de que tales superficies se conocían desde hacía un siglo, y cuando lo supo sintió tal frustración que abandonó durante años toda investigación en este sentido.

Afortunadamente superó este humano prejuicio acerca de la prioridad y siguió trabajando sobre problemas topológicos y superficies de una sola cara. Y es que opina que "es posible desarrollar un arte basado en gran parte en el pensamiento matemático". [To Infinity and Beyond, pp.139-141.]

Por si alguien se pasa por allí, una versión en piedra de esta obra (llamada esta vez Unendliche Schleife) se puede ver en el Centre Pompidou de París.

"Picasso nos da cuenta materialmente de la vida real en el espíritu, funda una perspectiva libre, móvil, semejante a la que sirvió al inteligente matemático Maurice Princet para deducir toda una geometría." ]Escritos de arte de vanguardia, p.72.]

Con estas palabras relaciona el pintor cubista Metzinger el cubismo inventado por Picasso y Braque con la geometría tetradimensional que Maurice Princet introdujo en los círculos cubistas franceses.

Lo cierto es que esa cuarta dimensión fue entendida con bastante poco rigor, pero con estupendos resultados artísticos, como un lugar desde el que observar las tres dimensiones habituales desde varios puntos de vista simultáneos.

Y es que en arte todo vale.

"En 1960 un matemático inglés, cuyo nombre he olvidado, me sugirió que dibujase una cinta de Moebio. Por ese entonces no tenía la menor idea de lo que era eso". Así explica Escher el origen de esta obra, en la que aparece uno de los objetos matemáticos más famosos dentro y fuera de la propia matemática: la banda de Moebius [El espejo mágico de M. C. Escher, pp.98,101].

Sus propiedades la convierten en un muy adecuado símbolo para el infinito, siendo una sugerente casualidad que colocada de cierta manera la cinta de Moebius se parezca precisamente al símbolo matemático para el infinito.

El atleta de la izquierda es el Doríforo, que en griego quiere decir el que lleva la lanza (la llevaba en su mano izquierda) y es obra del escultor griego del siglo V a.n.e. Polícleto. También se le llama Canon, a causa de que es la ilustración perfecta de las teorías del autor tal y como las expuso en un libro precisamente de ese nombre.

En El Canon Polícleto trata de las proporciones matemáticas ideales de las partes de un cuerpo humano y propone un equilibrio dinámico entre las partes relajadas y las partes tensas del cuerpo y las direcciones en que esas partes se mueven. A este concepto se le llamó simetría [Britannica].

Por cierto: canon en griego quiere decir originalmente caña, vara. El paso a vara de medir, regla y, finalmente, norma, está claro.

Este famosísimo dibujo de Leonardo da Vinci ejemplifica las proporciones ideales del hombre propuestas dieciséis siglos antes por el arquitecto romano Vitruvio.

Escribió Leonardo: "Si abrimos las piernas hasta disminuir la altura en un catorceavo, y extendemos los brazos, levantándolos de tal modo que los dedos medios estén al nivel de la parte superior de la cabeza, debemos saber que el ombligo será el centro de un círculo del que los miembros extendidos tocan su circunferencia. Asimismo, el espacio entre las piernas formará un triángulo equilátero. El espacio existente entre los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura." [Cuadernos de notas, p.49]

El texto original se puede leer la web Scheda_scientifica_vitruviano.htm

Aristóteles: “Los melancólicos son naturalezas serias dotadas para la creación espiritual”.
Ficino: “[la melancolía] empuja el alma a buscar el centro de las cosas singulares. Y ella la eleva hasta la comprensión de las más altas cosas...”.