Las muchas dimensiones del mundo físico.

Nuestro sistema perceptivo nos muestra el mundo en el que nos movemos como un lugar de tres dimensiones espaciales y una temporal, sin duda suficientes para manejarnos sin demasiados problemas.

Sin embargo, lo que es bueno para la vida cotidiana no lo es para la física: esta, empeñada en estudiar lo que ocurre en las situaciones más extremas, ha tenido que desarrollar sorprendentes modelos matemáticos para poder dar cuenta de las observaciones experimentales. Durante las primeras décadas del siglo XX se desarrollaron dos teorías de extraordinario éxito: la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica. Ambas han sido corroboradas con más precisión que ninguna otra teoría desarrollada por los humanos. La primera, ampliando los éxitos de la mecánica newtoniana, es capaz de explicar cómo el espacio y el tiempo se curvan en presencia de la materia y la energía. La segunda descrive con notable precisión el anti-intuitivo comportamiento de las particulas elementales. La teoría de la relatividad reina en la cosmología. La mecánica cuántica, en el mundo subatómico.

En resumen: se trata de dos teorías estupendas que funcionan muy bien cuando se aplican por separado. Sin embargo, cuando estudiamos situaciones en las que aparecen grandes masas y distancias minúsculas debemos utilizar ambas teorías a la vez, y aquí aparecen los problemas, pues las ecuaciones empiezan a producir probabilidades infinitas, lo que para cualquier físico solo puede significar una cosa: hay que buscar otra teoría.

Supercuerdas.

Desde hace varias décadas se está a la búsqueda un modelo matemático que asuma los éxitos de la relatividad y la mecánica cuántica y sea capaz de resolver el conflicto que existe entre ellas. Las más esperanzadoras propuestas son las llamadas teorías de supercuerdas, según las cuales las partículas elementales (los electrones, los quarks, etc.) son en el fondo pequeñísimas cuerdas cuyos patrones de resonancia da lugar a las cargas y las masas. Estos modelos (matemáticamente muy complejos), pese al atractivo de eliminar las probabilidades infinitas dieron lugar a probabilidades negativas, lo cual era casi tan malo como lo anterior. Entonces alguien se dio cuenta de que si las cuerdas vibrasen en un espacio de nueve dimensiones en vez de en uno de tres, las probabilidades negativas desaparecerían.

Como juego intelectual está bien. Sin embargo, lo que no hay que olvidar es que estamos hablando del mundo que percibimos, y que lo que la física intenta describir es precisamente ese mundo. La pregunta entonces es evidente: ¿dónde están las dimensiones que no vemos?

[Quien no tenga muy claro el concepto de dimensión puede encontrar ► aquí una breve explicación no académica.]

Dimensiones enrolladas

Estamos habituados a pensar en el espacio como algo infinito o, al menos, ilimitado, y por ello pensamos también en las dimensiones como magnitudes potencialmente infinitas. Cuando para representar puntos se dibujan los ejes coordenados dibujamos para ello unas líneas que, aunque representadas por segmentos finitos, sabemos que se pueden prolongar cuanto se necesite.

Sin embargo, esto no tiene porque ser así. Imaginemos que el mundo, en vez de ser aproximadamente esférico, fuese cilíndrico. Sobre un cilindro podemos indicar la posición de un punto mediante dos números, uno que nos dé su posición a lo largo de su generatriz, y otro que nos la de sobre su directriz (la circunferencia). En este mundo, una de las dimensiones vendría representada por una recta, pero la otra sería una dimensión "circular".

Pues imaginemos ahora que la circunferencia del cilindro es tan pequeña que no se puede apreciar a simple vista. ¿Cómo verían un mundo así sus habitantes? Para ellos no habría ninguna diferencia con un mundo unidimensional, pues solo se podrían desplazar en una dirección, pero no recorrer la circunferencia, que ni siquiera ven. Para ellos su mundo tendría una sola dimensión, cuando nosotros, observadores exteriores, sabemos que tiene dos.

Pues algo así propone la física contemporánea para nuestro universo: el espacio tiene tres “grandes” dimensiones (que también pueden estar enrolladas, por cierto) que son las que percibimos y después un número aún no determinado de dimensiones (nueve espaciales según las terorías de supercuerdas, diez según la teoría M que pretende unificarlas) adicionales enrolladas sobre sí mismas en las que, a causa de su mínimo tamaño, solo se pueden mover las pequeñas cuerdas vibrantes que dicen constituyen el nivel más elemental de la materia y la energía (de momento).

Es interesante señalar que la teoría restringe la forma de tales dimensiones extra a un tipo determinado de estructura multi-dimensional: los espacios de Calabi-Yau, desarrollados antes de que existiese la teoría de cuerdas por... Calabi y Yau.

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Apéndice: idea intuitiva de dimensión De modo informal podemos decir que la dimensión de un objeto es la mínima cantidad de números que necesitamos para indicar una cierta posición sobre él (a estos números se les llama coordenadas). Veámoslo con ejemplos: Dimensión 1 Si estamos en una carretera y alguien nos pregunta por un pueblo situado en esa misma carretera solo necesitaremos contestar un número: la distancia a la que se encuentra el pueblo (y el sentido, naturalmente, pero esa información podemos darla mediante el signo del número). Una carretera es un objeto de una dimensión. Dimensión 2 Imaginémonos ahora en una gran ciudad de calles perpendiculares: si alguien nos pregunta por un determinado edificio deberemos dar dos números: diremos, señalando cierta dirección, que para llegar al edificio citado hay que avanzar de frente un cierto número de bloques y después otro cierto número de bloques, bien a la izquierda o bien a la derecha. El plano de una ciudad es un objeto de dos dimensiones. Otro ejemplo de objeto bidimensional sería la superficie de la Tierra, sobre la cual, para orientarnos, solo necesitamos dos números: la latitud y la longitud. Dimensión 3 Si lo que nos piden es algo más preciso, como la forma de llegar a nuestra casa, y resulta que vivimos en un bloque de pisos, debemos dar entonces un número más: la planta en la que se encuentra. La ciudad real, con sus bloques de pisos, es un objeto de tres dimensiones. Otro objeto tridimensional es el propio espacio: supongamos que, hartos de los humos de la gran ciudad, decidimos dar un paseo en globo, y que tras un rato de navegación el viento deja de empujarnos y nos quedamos completamente parados. ¿Dónde nos encontramos? Si llevamos el GPS a mano será fácil averiguarlo: le damos a un botón y en la pantalla aparecerán tres números: la latitud y la longitud del lugar sobre el que nos encontramos más uno tercero: la altura. Grados de libertad. El número de dimensiones es una forma de medir la libertad que ofrece el objeto geométrico para sus hipotéticos habitantes: dentro de una línea solo se puede ir en un sentido o en otro. En un plano se puede, además, cambiar de dirección. Si nuestro mundo es de tres dimensiones, podemos volar. ► Seguir leyendo el artículo

• The Elegant Universe.
• Supercuerdas ¿Una teoría de todo?
• Super-fuerza.

Criptografía: métodos clásicos

El gran valor de la escritura, la universalización del acceso al conocimiento, es, a la vez, su gran debilidad cuando las informaciones escritas son, por unas u otras causas, de carácter confidencial.

Lo primero que inventamos para evitar que ciertos mensajes llegasen a ojos no deseados fue la esteganografía, consistente en ocultar el mensaje a las miradas curiosas, como cuando escribían el texto en la cabeza rapada del mensajero y esperaban a que le creciese el pelo.

Sin embargo, pronto se vio que los métodos de ocultación tenían el gran inconveniente de que una vez el engaño era descubierto el mensaje quedaba completamente expuesto. Por eso surgió la criptografía, "el arte de escribir con clave secreta", que consiste en ocultar no el mensaje en sí, sino el significado. De esta manera, aunque el mensaje fuese interceptado, su contenido aún estaría a salvo.

Muchos son los sistemas de encriptación. Los clásicos pueden clasificarse en sistemas de transposición y de sustitución, siendo estos últimos de dos tipos: códigos y cifrados.

TRANSPOSICIÓN

El significado se oculta cambiando simplemente el orden de las letras del mensaje. Por ejemplo, podemos coger primero todas las letras que ocupan posiciones pares y después escribir las de las posiciones impares. De esta manera, la frase esto es un mensaje de ejemplo se convertíría en SOE NMNAED JMLET SU ESJ EEEPO.

SUSTITUCIÓN

La idea es sustituir los elementos del texto plano (el mensaje original) por otros que formen el texto encriptado. Si lo que se sustituyen son las letras se llama cifrado, mientras que si lo que se sustituyen son palabras o expresiones enteras, se llama código.

Veamos algunos de los cifrados más famosos:

Cifrado César

Utilizado, de ahí su nombre, por Julio César para comunicarse con sus oficiales, consiste en sustituir cada letra del mensaje por la que está n posiciones más adelante o atrás en el alfabeto. Si n = 3, la a se sustituiría por la D, la b por E, la c por la F y así sucesivamente. De este modo, la palabra epsilones se transforma en HSVLÑRPHV.

En los sistemas de encriptación se suele distinguir entre el algoritmo o procedimiento general y la clave, que sirve para singularizar el resultado del algoritmo. En el caso del cifrado César, el algoritmo sería la regla por la cuál cambiamos cada carácter por uno que está n posiciones más adelante, mientras que la clave sería el valor concreto utilizado para n.

Lo malo de este sistema es que, si se sabe que se está utilizando, solo permite 27 sustituciones distintas (tantas como letras tiene el alfabeto), con lo que su descifrado es trivial. Para complicar un poco la cosa se puede utilizar, en vez de una cifra, dos, o más. Así, si la clave es 31, se sustituirá la primera letra por la que esté tres posiciones por delante, la segunda por la que esté una posición más avanzada, la tercera por la que esté tres posiciones por delante, y así sucesivamente.

El cifrado César es fácilmente matematizable: ver el Apéndice.

Sustitución monoalfabética

A cada letra del alfabeto se le asigna un signo distinto, que puede ser otra letra o cualquier otra cosa. Por ejemplo, según la tabla siguiente, la palabra matematicas se transformaría en 9XD?9XD3RXM.

y la palabra matematicas se cifraría como VEDLVEDQSEC.

Análisis de frecuencias

Podría pensarse que tales sistemas son eficientes, pero resultan tremendamente fáciles de descifrar mediante una técnica llamada análisis de frecuencias, desarrollada primeramente por los árabes cuando estaban buscando la frecuencia con la que ciertas palabras aparecían en el Corán para dilucidar la cronología de las palabras del Profeta.

La idea fundamental es que no todas las letras aparecen con la misma frecuencia en los textos, sino que algunas aparecen más a menudo que otras. Contando las signos del texto cifrado y ordenándolos de mayor a menor frecuencia podemos establecer conjeturas acerca de qué letra corresponde a cada signo. El análisis se completa con la búsqueda de palabras frecuentes como artículos y preposiciones. Si además conocemos o sospechamos de alguna palabra que deba aparecer en el mensaje, mejor que mejor.

Para comprender en detalle cómo funciona este método en el Laboratorio se encuentra un ejemplo de descifrado por análisis de frecuencias.

Dos ejemplos de este tipo de análisis lo tenemos en los cuentos de Poe y Doyle El escarabajo de oro y La aventura de los bailarines. El cuento de Conan Doyle, en el que el criptoanalista es el mismísimo Sherlock Holmes, se caracteriza porque las letras del texto se sustituyeron por unos muñequitos danzantes:

Para evitar el análisis de frecuencias se introdujeron algunas mejoras, como la inclusión de caracteres nulos que no se traducían por nada, o la introducción de errores premeditados en el deletreado de las palabras para confundir al criptoanalista.

Una mejora importante fue el cifrado de sustitución homofónico, en el que cada letra se sustituye por varios caracteres distintos en cantidad proporcional a su frecuencia de uso, de modo que si una letra se usa el doble de veces que otra, la primera será sustituida por el doble de caracteres que la segunda. De esta manera el análisis de frecuencias queda anulado.

Sustitución polialfabética

Leon Alberti propuso usar más de un alfabeto para encriptar cada mensaje. Vigenère desarrollaría esta idea hasta dar con un nuevo método, al que llamaron Le chiffre indéschiffrable (“La cifra indescifrable”). La idea es sencilla: escribimos el alfabeto una vez para cada letra empezando precisamente por esa letra. La tabla de Vigenère quedaría así:

El cifrado se haría de la siguiente manera: supongamos que la clave es CABEZA, y que el texto a traducir es matematicas. Para traducir la primera letra de matematicas, como la primera letra de la clave es C utilizaremos la cuarta fila de la tabla para traducir, precisamente la que empieza por C, en la que vemos que a la m le corresponde la Ñ. Como la segunda letra de la clave es A, utilizamos para cifrar la segunda fila de la tabla, que deja la a como A. Completando el proceso, tenemos que matematicas se transforma en ÑAUILAVIDER. Observese que en este sistema la misma letra puede transformarse en letras distintas.

Le chiffre indéschiffrable es inmune al ataque por análisis de frecuencias y fue considerada indescifrable durante mucho tiempo. Sin embargo, Charles Babbage, uno de los padres de la informática, fue capaz de romperla al encontrar que si la clave tenía n letras, el cifrado se repetía cada n letras.

Claves de un solo uso

Una variación del cifrado de Vigenère consiste en utilizar una clave tan larga como el propio mensaje para evitar su carácter cíclico. Pero también se puede romper: su debilidad estriba en la utilización de claves con significado, lo que permite tener una idea de cuándo la intuición de uno va por buen camino.

La forma de resolver este problema es evidente: en vez de utilizar claves con significado hay que utilizar claves aleatorias de un solo uso. Si emisor y receptor tiene ambos un cuaderno de claves común, podrán cifrar y descifrar los mensajes utilizarán las sucesivas claves contenidas en cada una de las hojas del cuaderno. Así surgió en la segunda década del siglo XX el one time pad-cipher ("cifrado con cuaderno de claves de un solo uso") que ofrece por primera vez un sistema absolutamente seguro.

Sin embargo, el sistema tiene dos peros importantes. Por un lado, si las necesidades criptográficas son grandes, es decir, si es mucha la cantidad de información que hay que proteger, generar claves aleatorias suficientes supone un coste muy elevado. Por otro, y este ha sido el gran problema de la criptografía a lo largo de su historia, está el problema de la distribución de las claves: para poder compartir un secreto, el mensaje, es necesario tener previamente un secreto compartido: la clave. Pero si aquel que no queremos que capture nuestros mensajes se hace con el cuaderno de claves será mucho peor que si no hubiésemos encriptado en absoluto, porque nosotros creeremos que estamos comunicándonos en secreto cuando no es así.

MÁQUINAS Y ORDENADORES

Con la Segunda Guerra Mundial la criptografía se mecaniza. Máquinas como Enigma proporcionan códigos segurísimos que máquinas como la Bomba de Turing se encargan de descifrar. De hecho, una de estas máquinas, Colossus, es considerada el primer ordenador modeno.

Sin embargo, el problema central seguía siendo el mismo: la distribución de claves, o cómo transmitir la clave sin que esta sea interceptada.

Este problema hoy está resuelto con una idea genial: el uso de claves asimétricas. Pero esto es ya otra historia.

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Fuentes:

• The Code Book, pássim.
• Fermat's Last Theorem, pp.168-174.
• Narraciones extraordinarias, pp.95, 97.
• La reaparición de Sherlock Holmes, pp.64, 68.
• web: Historia de la criptografía.

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Apéndice: las matemáticas del cifrado César

Si x es la posición de la letra que queremos cifrar, la posición de la nueva letra vendrá dada por la fórmula:

f(x) = (x + n) mod p,

donde

p = longitud del alfabeto (27 para el castellano por ejemplo),

x = número asociado a la letra (1 para la a, 2 para la b, etc),

n = clave, dependiendo de la cual cambiará el código una vez codificado.

Por ejemplo, si codificamos la palabra clave tomando a como la posición 1 y haciendo n = 5, se tiene:

c → f(3) = (3 + 5) mod 27 = 8 → h

l → f(12) = (12 + 5) mod 27 = 17 → p

a → f(1) = (1 + 5) mod 27 = 6 → f

v → f(23) = (23 + 5) mod 27 = 1 → a

e → f(5) = (5 + 5) mod 27 = 10 → j

Para descifrar algo tan sencillo, utilizamos la fórmula inversa de aquella que hemos utilizado para cifrar (estas funciones siempre han de ser inyectivas): f(x) = (x -n) mod p.

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Fuente: Comunicación de Juan Manuel Tirado.

El problema de la longitud

Estamos en el siglo XVIII y los barcos o bien se perdían (prolongándose así la duración de los viajes y el riesgo del escorbuto), o bien se pegaban unas bofetadas horribles con costas, acantilados o entre ellos mismos, todo ello por no poder calcular con precisión la longitud (distancia angular este-oeste medida sobre el Ecuador) en la que se encontraban.

La inseguridad que esto provocaba obligaba a navegar con la única guía de la latitud (distancia angular al Ecuador), lo cual apiñaba a comerciantes, buques de guerra, pescadores y piratas en las mismas rutas.

Así las cosas, el Parlamenteo inglés ofreció en 1714 una recompensa de 20000 libras para quien resolviese el problema. Ante tal suma la gente se volvió loca e ideó todo tipo de soluciones, algunas auténticamente descabelladas (una, la del 'perro herido', utilizaba unos polvos mágicos que curaban heridas a distancia pero producían dolor cuando se aplicaban: llevando un perro herido a bordo, y utilizando los polvos en tierra siempre a mediodía, los del barco obtendrían este dato por los aullidos del perro).

Entre los métodos razonables destacaron dos. El preferido por los astronomos y científicos en general consistía en averiguar la longitud por la distancia entre la Luna y el Sol y entre la Luna y las estrellas, para lo cual había que utilizar tremendas tablas de datos astronómicos y realizar tediosos cálculos.

El otro método consistía simplemente en conocer la diferencia entre la hora local (que se calcula por la posición del Sol) y la hora de un lugar fijo conocido, pues esta diferencia horaria se convierte automáticamente en diferencia de longitud. Por lo tanto, lo único que hacía falta era tener un instrumento que nos diese la hora de nuestro punto de partida, es decir, un reloj.

	Un ejemplo: Si sabemos que en el puerto de Cádiz son las 12 del mediodía y que en el barco son las 14:30, como a los 360º de la circunferencia completa les corresponden 24 horas, escribimos la porporción: , de donde se obtiene que . Es decir: nos encontramos a 37'5º hacia el este de Cádiz.

El problema es que esta diferencia se debía conocer con gran precisión, y los relojes de la época no soportaban los vaivenes del mar y los cambios de temperatura. Se necesitaba un cronometro, y John Harrison, un artesano, decidió construirlo.

Cuatro fueron los relojes desarrollados por Harrison en su lucha por apresar el tiempo, el primero de los cuales fue el H-1 (ver en Viajes: Espacio y tiempo). El H-4, con un aspecto parecido ya al de los modernos cronógrafos, fue la revolución: tras ochenta y un días en alta mar atrasó ¡cinco segundos!

Tuvo Harrison muchos problemas para que su invento fuese reconocido. Es una historia de soberbias y mezquindades: la cosa es que el método de la distancia lunar unía a científicos de todo el mundo en una empresa internacional a gran escala. Además, su utilización exigía unos conocimientos que en absoluto estaban al alcance de cualquiera. Entonces llega Harrison y dice que él arregla todo el asunto con un aparatito que puede usar el más tonto. No se lo quisieron consentir.

Pero ganó.

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Más información:

• En Longitud se puede leer esta apasionante historia.
• Los prototipos de Harrison aparecen fotografiados en la web del Observatorio de Greenwich.

Frege y la paradoja de Russell

El programa logicista

Gottlob Frege, matemático y lógico alemán, se había propuesto llevar a cabo el llamado programa logicista, consistente en deducir toda la matemática de la lógica y darle así la más sólida de las bases. Dicho programa había de realizarse en dos pasos, en el primero de los cuales se definirían los conceptos matemáticos en función de la lógica para después, en el segundo, demostrar los teoremas matemáticos usando únicamente la lógica.

Tras veinte años de trabajo, en 1902 Frege había terminado el segundo volumen de su obra Las leyes fundamentales de la Aritmética, con la que creía haber dado por fin, mediante la teoría de conjuntos, solución a la fundamentación lógica de la matemática. De hecho el libro estaba terminándose prácticamente de imprimir cuando Frege recibió una carta de Bertrand Russell en la que el inglés le explicaba que había encontrado una paradoja en la teoría de conjuntos. A Frege solo le dio tiempo para insertar una nota al final de su libro, sin duda una de las más patéticas confesiones de la historia de la matemática:

"Difícilmente puede haber algo más indeseable para un científico que ver el derrumbe de sus cimientos justamente cuando la obra está acabada. La carta del Sr. Bertrand Russell me ha puesto en esta situación...”.

La paradoja de Russell

Por aquellos años, Russell y Whitehead, defensores como Frege del programa logicista, estaban enfrascados en la composición de su Principia Mathematica. Estaba el primero de ellos estudiando las paradojas que había hallado Cantor respecto del cardinal de la clase universal, cuando descubrió una mucho más sencilla, que es la que hoy lleva su nombre. Así lo contó el propio Russell:

"Me parece que una clase a veces es, y a veces no es, un miembro de sí misma. La clase de las cucharitas de té, por ejemplo, no es otra cucharita de té, pero la clase de cosas que no son cucharitas de té es una de las cosas que no son cucharitas... [esto] me condujo a considerar las clases que no son miembros de sí mismas; y éstas, parecía, debían formar una clase. Me pregunté si esta clase es o no un miembro de sí misma. Si es un miembro de sí misma, debería poseer las propiedades que definen a dicha clase, que consisten en no ser miembros de sí mismas. Si no es un miembro de sí misma, no debe poseer la propiedad definitoria de la clase, y por tanto debe ser un miembro de sí misma. Así cada alternativa lleva a su opuesta y existe una contradicción."

Resumiendo: había descubierto que considerar el conjunto de los conjuntos que no son miembros de sí mismos lleva a una contradicción. Otra forma de exponer la misma idea es mediante la paradoja del barbero, también de Russell: en un pueblo había un barbero que solo afeitaba a aquellos que nunca se afeitaban a sí mismos. ¿Se afeitaba el barbero a sí mismo?

Como primera consecuencia, la paradoja de Russell se cargó el trabajo de Frege, pues este utilizaba el principio de comprehensión, el cual autoriza a pasar del concepto a la clase (es decir, que todo predicado razonable describe un conjunto), de modo que si la teoría de Frege fuese correcta el "conjunto de los conjuntos que no son miembros de sí mismos" debería de tener sentido.

Lo que le dijo Whitehead a Russell cuando este le contó su descubrimiento es bastante gráfico: "nunca habrá otra vez una alegre y confiada mañana". En cualquier caso, Russell creyó al principio que la paradoja no era más que una curiosidad, hasta que sus infructuosos intentos por resolverla durante más de un año le hicieron ver que se encontraba ante una cuestión fundamental.

La teoría de tipos

En 1902 Russell le manda la famosa carta al pobre Frege y se pone manos a la obra para encontrar una solución. Parecía claro que las dificultades aparecían con los conjuntos que son miembros de sí mismos. Tras enormes sufrimientos intelectuales y varios años de trabajo, Russell propone su teoría de tipos que, simplificando, consistente en organizar los conjuntos en niveles. Por ejemplo, los gatos serían objetos de primer nivel, los conjuntos de gatos de segundo (el conjunto de los siameses, el conjunto de los gatos negros), los conjuntos de conjuntos de gatos de tercero (el conjunto de las razas de gatos), y así sucesivamente. En esta jerarquía solo se puede decir que un objeto de nivel n es miembro de otro objeto solo si este es de nivel n+1. Un conjunto de gatos, por ejemplo los siameses, puede ser miembro de un conjunto de conjuntos de gatos, por ejemplo el conjunto de las razas de gatos, pero no puede ser miembro de otro conjunto de gatos, pues estos solo contienen gatos.

El fin del sueño logicista

Russell resolvió así la paradoja que él mismo había descubierto, pero los problemas para el programa logicista no había hecho más que empezar. De hecho, pronto se constataría que lo conseguido por Russell y Whitehead no era reducir la matemática a la lógica, sino a la lógica más la teoría de conjuntos.

En cualquier caso, el encargado de darle el golpe de gracia al sueño de Frege sería el lógico Kurt Gödel, quien demostró con su teorema de incompletitud que los sistemas formales del tipo de los descritos en los Principia Mathematica o son incompletos (no pueden demostrar todos los teorema ciertos) o son inconsistentes (contienen contradicciones). Vamos, que la matemática o no dice toda la verdad, o miente. Pero bueno, esto ya es otra historia.

• El teorema de Gödel, p.40.
• ¿Qué son y para qué sirven los números?, p.66.
• Los logicos: pp.57 y ss, 152 y ss.
• Experiencia matemática, p.242.
• Boyer, p.756.
• Imposibilidad, p.41.
• Orden y sorpresa, p.76.

La invención de los sistemas de coordenadas

Hay en la historia de la ciencia en general y en la de la matemática en partícular momentos especialmente brillantes en los que se produce la puesta en contacto de dos campos de investigación hasta ese momento separados. Este encuentro permite aplicar las técnicas desarrolladas para resolver ciertos problemas a la resolución de otros en apariencia completamente distintos pero que de pronto se revelan equivalentes a los originales. El resultado es una auténtica revolución en la que el habitualmente pausado avance de la ciencia se hace vertiginoso.

Uno de estos momentos felices se produjo en el siglo XVII con la invención de la geometría análítica. Dejemos que sea su inventor, René Descartes, quien describa el programa de esta especialidad matemática:

"Entonces, si queremos resolver cualquier problema, supondremos primero que la solución ya está efectuada y daremos nombres a todas las líneas que parezcan necesarias para su construcción, tanto a aquellas que son desconocidas como a las que ya lo son. Entonces, sin hacer distinción entre líneas conocidas o desconocidas, debemos desentrañar la dificultad de manera que muestre lo más naturalmente las relaciones entre esas líneas, hasta que encontremos posible expresar una cantidad simple de dos maneras. Esto constituirá una ecuación, dado que los términos de una de esas dos expresiones son en conjunto iguales a los términos de la otra." [La Geometrie, p.6.]

La geometría analítica se basa pues en una correspondencia entre las curvas estudiadas por la geometría y las ecuaciones estudiadas por el álgebra, lo que permite reformular los problemas geométricos en términos algebraicos. Esta correspondencia se basa, a su vez, en la correspondencia que establecieron simultáneamente Descartes y Pierre de Fermat entre los puntos del plano y los pares ordenados de números: las coordenadas.

Coordenadas cartesianas o rectangulares

Se cuenta que el origen de todo esto fue en verdad sosegado: un día, tirado en la cama de mañana, mientras veía el movimiento de una mosca por el techo, Descartes ideó la forma de representar un punto mediante un par de números que indicasen su distancia respecto de dos de las paredes del cuarto.

	Coordenadas cartesianas En la figura, el punto A se halla en horizontal a dos unidades del eje vertical, y en vertical a dos del horizontal. Se dice entonces que sus coordenadas son (2, 3). A la primera de ellas se le llama abscisa, y a la segunda, ordenada.

Independientemente de la veracidad de la historia, lo cierto es que el sistema de coordenadas que Descartes expuso en su obra La Geometrie no era exactamente como el que usamos hoy (vamos, que las coordenadas que utilizaba Descartes no eran cartesianas): solo el eje horizontal era dado, mientras que el otro se escogía, no necesariamente perpendicular, según las circunstancias del problema. Además, solo consideraba las curvas dentro del primer cuadrante.

Como se ha dicho, Fermat también dio los primeros pasos de la geomería analítica, y utilizó además preferentemente ejes perpendiculares. Sin embargo, una publicación posterior y una notación farragosa impidieron que llegara a tener la influencia que tuvo La Geometrie de su colega y compatriota.

Una vez establecida la correspondencia entre puntos y coordenadas, el siguiente concepto necesario para el desarrollo de la geometría analítica es el de lugar geométrico, ya manejado por autores antiguos como Apolonio. Consiste en considerar conjuntos formados por los puntos que cumplen unas determinadas condiciones. Si estas condiciones se expresan como una relación entre las coordenadas de un punto genérico, tenemos la ecuación de la curva.

	Lugar geométrico La circunferencia de radio 1 centrada en el origen se puede describir como el lugar geométrico de los puntos del plano que distan una unidad del origen (el punto O). Si llamamos x e y a las coordenadas de un punto cualquiera de la circunferencia y aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo recto que se ve en la figura, se tiene que . Pues bien: esta relación entre las coordenadas de un punto genérico es a lo que se llama ecuación de la curva. Su sentido es claro: cualquier par de números que cumplan la ecuación son coordenadas de un punto del lugar geométrico.

Coordenadas polares

Siendo el truco magnífico, en algunos casos las ecuaciones obtenidas mediante las coordenadas cartesianas son bastante farragosas. Por eso se buscaron otras correspondencias entre geometría y álgebra, entre puntos y números. Así, en su obra Método de Fluxiones (1671), Newton presentó hasta ocho tipos distintos de sistemas de coordenadas. Su “séptima manera” es lo que hoy conocemos por coordenadas polares. (Se cree que las inventó Newton, aunque la prioridad de la publicación se debe a Jacques Bernouilli).

En cierto sentido son más naturales que las cartesianas, pues de lo que se trata es de localizar un punto mediante su distancia (el módulo) al lugar que se elija como origen de coordenadas y su orientación (el argumento) respecto de una semirrecta que hemos elegido como ángulo cero.

	Coordenadas polares En la figura, el punto A tiene un módulo de 4 unidades, mientras que su argumento es de π/4 radianes (o 45º). Por lo tanto, las coordenadas polares del punto A son (4, π/4).

Son muchas las curvas que tienen una forma tremendamente elegante expresadas en polares: así, la espiral de Arquímedes tiene por ecuación r = θ (es decir: sus puntos son tales que su módulo y su argumento coinciden), mientras que la espiral logarítmica queda definida por . Basta comparar con sus ecuaciones cartesianas, y respectivamente, para darse cuenta de las ventajas de las coordenadas polares.

Coordenadas paramétricas

La generalización en el uso de un nuevo sistema de representación más sofisticado se debe al genio de Euler y Gauss, quienes lo usaron ampliamente en el estudio de curvas y superficies. Las coordenadas paramétricas tiene la ventaja de ser intrínsecas, pues no dependen de unos ejes externos como en el caso de las coordenadas cartesianas, sino que se basan en un sistema de referencia incluido en el propio objeto. Además, el número de parámetros necesarios para describir el objeto geomético estudiado indica su dimensión (uno en el caso de las curvas).

Un ejemplo de coordenadas paramétricas son las utilizadas sobre la Tierra (la longitud y la latitud), dos parámetros que no se refieren a un sistema de coordenadas cartesiano externo a nuestro planeta, que sería de tres dimensiones, sino a unos círculos imaginarios situados sobre la propia superficie terrestre, que obviamente es bidimensional (siempre que nos olvidemos, claro está, de pequeñas rugosidades como cordilleras y fosas marinas).

Para poder visualizar el objeto estudiado necesitamos poder transformar las coordenadas paramétricas en coordenadas cartesianas. Para ello se expresan las relaciones entre ambos sistemas de representación mediante las llamadas ecuaciones paramétricas, que tienen además la característica de generar la curva.

	Ecuaciones paramétricas Para obtener los puntos de la elipse de la figura basta darle valores al parámetro t en las ecuaciones . Al hacerlo, se ve que dichos puntos están sobre la curva en el mismo orden que los valores del parámetro.

Para terminar

Si la geometría analítica nació con la idea de convertir las curvas en ecuaciones, el camino de vuelta, consistente en la invención de nuevas curvas a partir de ecuaciones, resultó una sorpresa extraordinaria. Un nuevo mundo había sido descubierto y las limitaciones de la geometría con regla y compás olvidadas para siempre.

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Ver en Epsilones:

• Laboratorio: Curvas con ordenador
• Bestiario: Coordenadas

Bibliografía

• La Geometrie.
• Boyer, pp.514, 526, 580.
• e: The Story of a Number, p.62.
• Historia de las matemáticas (Ríbnikov), p.155 y ss.
• Men of Mathematics, p.265.

Matemática y misticismo en Occidente.

El principio

Desde sus comienzos la matemática estuvo ligada a la astronomía y, a través de ella, a todo tipo de ritos mágicos y religiosos. Hombres como Tales y Pitágoras recorrieron las tierras de las mas antiguas civilizaciones (Mesopotamia, Egipto, incluso puede que la India) y trajeron a Occidente unas matemáticas que venían acompañadas, como los minerales, de cierta cantidad de ganga sin valor en forma de simbolismos místico-mágicos que los griegos, lejos de eliminar, potenciaron hasta el punto de situarlos en la base de sus explicaciones acerca del mundo.

El punto culminante de este proceso llegaría con Platón y su “Dios geómetra”, un dios intelectual, un demiurgo que organizaría el mundo siguiendo criterios geométricos (un dios, por cierto, que luego se haría arquitecto con los francmasones). Además, su teoría de las ideas, que concedía a los objetos matemáticos existencia independiente de la mente humana, se ha mantenido como una de las corrientes interpretativas de la matemática más influyentes a lo largo de la historia.

Esta visión mística daría lugar a lo largo de los siglos a una serie de tópicos en los que las matemáticas se verían contaminadas por distintas interpretaciones digamos imaginativas. Veamos algunos de ellos.

Objetos mate-mágicos

Misticismo numérico.

Para los pitagóricos los números no eran simples abstracciones, sino que constituían de alguna manera la materia prima del universo, y poseían, acompañando a sus propiedades estrictamente matemáticas, otras de índole cualitativo. De esta manera, en la secta pitagórica se hablaba de números hembra, números macho, el número de la creación, el de la justicia...

Los números eran representados mediante piedrecillas en disposiciones geométricas. Una de ellas representaba el número diez en un diseño triangular mediante cuatro filas de una, dos, tres y cuatro piedras. Es la llamada tetractis, a la que consideraban sagrada porque representaba el número del universo, al ser diez la suma de elementos necesarios para representar un punto, un segmento, un triángulo y un tetraedro o, lo que es lo mismo, la suma de todas las dimensiones. Si en su veneración por el diez influyó el hecho de que tengamos diez dedos en las manos es algo que seguramente no podremos saber nunca.

Pentágono estrellado, o pentagrama, o pentalfa, o pie de bruja.

Formado por las diagonales del pentágono regular, fue seña de identidad de la secta pitagórica y símbolo de la salud. Las diagonales se cortan en cinco puntos que a su vez forman otro pentágono, pudiendo por tanto repetirse el proceso hasta el infinito. Estos cinco puntos poseen además una importante propiedad: dividen a cada diagonal en dos segmentos que se encuentran en razón áurea, lo que hace sospechar que fue en este contexto donde los pitagóricos descubrieron la existencia de los números irracionales.

Su carácter simbólico se mantuvo a través de los siglos. Así, durante la Edad Media se le consideró símbolo de la Trinidad (porque puede formarse mediante tres triángulos isósceles superpuestos), lo que le convirtió en la defensa perfecta contra el demonio, como se puede leer en el Fausto de Goethe (primera parte: Gabinete de estudio, p.145).

La armonía de las esferas.

Animados y algo excitados por el éxito que supuso la descripción numérica de los sonidos armónicos, los pitagóricos se lanzaron a buscar armonías en todos los sitios. Uno de ellos fue el propio cosmos: pensaban que los astros eran agujeros en unas esferas de cristal a través de los cuales se colaba la luz celestial. Conjeturaron que los radios de dichas esferas y sus velocidades debían seguir las mismas proporciones que los intervalos musicales. Las esferas, al moverse, emitirían sonidos, unos sonidos que, teniendo en cuenta lo dicho, darían lugar a auténtica música cósmica.

Muchos siglos después, el gran Kepler heredó y modificó el argumento: pensaba que las órbitas de los planetas debían estar dentro de esferas inscritas entre los cinco poliedros regulares. Como a su vez pensaba que las razones armónicas debían derivarse de dichos poliedros, la conclusión final de nuevo fue la música de las esferas.
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Los cuatro elementos y la quinta esencia.

Para Empédocles todas las cosas del universo estaban compuestas de cuatro elementos: la tierra, el agua, el aire y el fuego, cuyas cualidades esenciales seguían el esquema de la figura.

		Platón, en su diálogo Timeo, asoció cada uno de los cuatro elementos con uno de los poliedros regulares, y como le sobraba uno, el quinto poliedro regular, el admirado dodecaedro de los pitagóricos, decidió asociarlo con la materia constituyente del universo, la famosa quinta esencia. Desde entonces a los poliedros regulares se les conoce también como sólidos platónicos. La tradición de identificar los elementos y los poliedros regulares llegó hasta los tiempos de Kepler: al tetraedro, por ser el de menor volumen, le emparejó con el fuego por aquello de la sequedad; al icosaedro, por ser el de volumen más grande, con el agua por aquello de la humedad; al cubo, por ser el que se asienta más fácilmente, con la tierra; mientras que al Octaedro, por girar al sujetarlo por vértices opuestos, con el aire.

El hechizo de la circularidad.

Parménides, tras elaborados y algo confusos razonamientos dedujo, entre otras cosas, que la multiplicidad es pura ilusión, es decir, que todo lo existente es inmutable, homogéneo, único y ... esférico. Influido por la teoría pitagórica de que la realidad de las cosas es dada por el límite y la forma, pensó que lo existente tendría por tanto una forma. Y si lo existente es homogéneo, su forma debía ser la esfera, pues no hay razón ninguna para que se extendiese más en un sentido que en otro.

Sin duda esta visión del mundo influyó en Platón, que abrazó la circularidad con auténtica veneración dada su perfecta simetría, y la convirtió en uno de los dogmas de la geometría con regla y compás.

El hechizo de la circularidad tuvo gran influencia en la astronomía. En un típico argumento místico, se pensó que si el movimiento de los astros había sido diseñado por la divinidad, debía seguir el más perfecto de los movimientos y este, como todo el mundo creía saber, era el movimiento circular. Así quedó establecido y hubiese seguido por siempre si la realidad no se hubiese empeñado en llevar la contraria. Como los datos observacionales no cuadraban con tan perfecto movimiento, los astrónomos se dedicaron a añadir más y más círculos para intentar salvar las apariencias, llegándose en época de Ptolomeo a un sistema con más de ochenta deferentes y epiciclos.

Curiosamente, sería Kepler, tan proclive a la herencia pitagórica y platónica, el que acabaría con el hechizo, estableciendo a partir de datos empíricos que los planetas se mueven en órbitas en forma de elipse, curva que, por otra parte, era ya conocida por los griegos al menos 1800 años antes.

El final

Kepler era un místico que creía que la geometría existía ya antes de ser creadas las cosas. Creía en un universo ordenado y armónico. Pero también creía en los datos de la experiencia. Producto de ambas aproximaciones a la realidad fue su descubrimiento de las tres leyes que llevan su nombre y que supusieron uno de los grandes triunfos de la matemática como lenguaje descriptor del universo.

Sin embargo, no sería él el último mago. Tan dudoso honor sería para el más grande, Isaac Newton, quien al tiempo que descifraba los secretos del universo y explicaba mediante las mismas leyes fundamentales el movimiento de los astros y la caída de las manzanas, llenaba un baúl de miles de manuscritos sobre teología y alquimia. Eso sí: jamás mezcló una cosa con otra, como si inconscientemente supiese que los caminos de la ciencia y la superstición se separarían definitivamente con él.

Bueno, una vez sí lo hizo: al ver que su sistema planetario no era estable, Newton dijo que quizá Dios tuviese que intervenir de vez en cuando para mantenerlo en orden. Aunque recibió inmediatamente la réplica de su gran oponente, Leibniz, para terminar esta historia prefiero sin embargo avanzar algo más en el tiempo y marchar hasta Francia en el momento en el que Laplace publica su Mecánica celeste, una completa descripción del universo conocido. De tal obra le entregó una copia a su amigo Napoleón, que tras leerla, le hizo llamar y le comentó: “Habéis escrito un grueso volumen sobre el sistema del mundo sin una sola mención al autor del universo”, a lo que Laplace, sin pestañear, contestó: “Sire, no tengo necesidad de esa hipótesis”.

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Bibliografía

• Boyer
• Struik
• Historias de las ciencias
• Historia de la Filosofía
• Vida Pitagórica
• Encyclopaedia Britannica
• Men of Mathematics
• Mathematical Recreations and Essays
• Alquimia & Mística
• Timeo

Antes de Mandelbrot.

Se podría dar la fecha de 1975 como inicio de la historia de la geometría fractal, pues fue en tal año cuando Benoît Mandelbrot acuñó este término. Sin embargo, nada sale de la nada, y en buena medida la genialidad del matemático francés consistió en unificar en una nueva rama de la matemática lo que hasta entonces habían sido trabajos muy separados y por lo general periféricos. Algunos de ellos fueron de tipo más teórico, como los de Poincaré, Hausdorff, Julia o Fatou, pero otros consistieron en el descubrimiento de extraños conjuntos, calificados por algunos como monstruosos, que vistos retrospectivamente resultan ser fractales. Veamos algunos de ellos.

	Conjunto de Cantor
		Quizá sea este el primer objeto fractal de la historia de la matemática. Su construcción es sencilla: dado un segmento, le quitamos su tercera parte central. A los dos segmentos resultantes le aplicamos el mismo proceso, que volvemos a repetir en todos los demás segmentos que se van produciendo hasta el límite. El conjunto de Cantor se caracteriza por tener longitud cero, pues no contiene ningún intervalo (por lo a veces se le llama Polvo de Cantor). Lo asombroso es que contiene tantos puntos como toda la recta real.

	Curva de Hilbert
		Aunque la primera de las curvas que llenan el plano se debe a Peano (1890), Hilbert construyó esta otra más fácilmente visualizable. En la figura se pueden ver los cinco primeros pasos de un proceso que en el límite da lugar a la curva de Hilbert. Su característica principal es que recorre todos y cada uno de los puntos del cuadrado que la contiene. Dicho de otra manera: su dimensión fractal es ¡dos!

	Curva de Koch
		En 1904 el suizo Helge von Koch produjo la siguiente curva, cuya regla de construcción se muestra en la figura de la derecha: dado un segmento se divide este en tres de igual longitud y se sustituye el del centro por otros iguales que él colocados en forma de ángulo. La curva de Koch es el resultado de llevar el proceso al límite, y uno de los ejemplos más conocidos de atractores de IFS. Uniendo tres de tales curvas colocadas en forma de triángulo obtenemos el famoso copo de nieve (abajo), de indudable belleza pero carente en sí mismo de la propiedad de la autosimilitud que sí tienen cada una de sus partes.
					Sin embargo, el copo de nieve de Koch nos guarda una sorpresa: mientras que la superficie que encierra tiene un área finita, su longitud es, sin embargo, infinita.

	Triángulo de Sierpinsky
		Fue en el año 1915 cuando el matemático polaco W. Sierpinsky introdujo esta versión bidimensional del Conjunto de Cantor. En la figura se pueden ver los seis primero pasos, pero el proceso sigue hasta el infinito. En el triángulo de Sierpinsky se ve perfectamente la propiedad de la autosimilitud: si se coge un subtriángulo cualquiera y se amplía se obtiene una triángulo igual que el original. Es otro ejemplo de atractor de IFS.
			Además de tener aplicación práctica como forma ideal para las antenas de radiotelefonía, el triángulo de Sierpinsky aparece en los lugares más insospechados: como imagen de los números pares del triángulo de Pascal; como representación del problema de las torres de Hanoi; como imagen del operador lógico NAND... Para terminar, una pregunta: ¿cuál es la superficie triángulo de Sierpinsky?

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Introduction to fractals and chaos, passim; La geometría fractal de la naturaleza, passim.

La sección áurea y la Gran Pirámide de Gizeh.

La gran pirámide de Gizeh se construyó hace 4500 años aproximadamente y se incluyó entre las Siete Maravillas del Mundo, siendo la más antigua y sin embargo la única que se conserva en la actualidad.

Leyendas de todo tipo han acompañado a cualquier manifestación de esta cultura fascinante y desconocida: sus dioses, sus faraones, sus jeroglíficos y, por supuesto, sus increíbles templos y construcciones funerarias nos hablan de grandeza y de misterio. Y de saberes ocultos celosamente guardados por poderosos sacerdotes.

Entre estos saberes secretos se hayan, cómo no, los conocimientos matemáticos. Mucho se ha escrito sobre las matemáticas de las pirámides, y se pueden leer todo tipo de fantásticas relaciones numéricas encarnadas en las formas y medidas de esas enormes moles de piedra.

La cuestión es que efectivamente hay matemáticas, y no hay más que fijarse en la forma elegida, pero quizá no tantas como se cree. Veamos un ejemplo de estos supuestos conocimientos: imaginemos que alguien mos muestra el siguiente dibujo, en el que la letra φ representa la sección áurea.

El Ojo de Horus.

			Horus, hijo póstumo de Osiris y educado en la sed de venganza por su madre Isis, desafió a su tío Seth, el asesino de su padre, y entabló con él un terrible combate. En la refriega, Seth le arrancó un ojo a Horus, lo cortó en seis pedazos y lo esparció por todo Egipto. La asamblea de los dioses decidió intervenir en favor de Horus y le encarga a Toth, maestro supremo de la aritmética, la palabra, la escritura y los escribas, reunir las partes del ojo mutilado y reconstruir con ellas, gracias a sus potentes sortilegios, un ojo sano y completo. (En el himno XX del Libro de los muertos se dice que "Esto, hizo Toth con sus mismo dedos", lo que algunos interpretan como el uso de los dedos para calcular).
		Por eso, el Oudja, a la vez ojo humano y de halcón, mutilado y restaurado, era uno de los amuletos más importantes para los egipcios, símbolo de la integridad física, el conocimiento, la visión total y la fertilidad. Y para que este símbolo perviviese en todas sus tareas, los escribas utilizaban sus distintas partes para representar las fracciones del héqat, unidad de capacidad que correspondía aproximadamente a 4,784 l.

La cuestión

No es difícil darse cuenta de que si sumamos las seis fracciones del héqat obtenemos 63/64. ¿Qué pasa con el 1/64 que falta?

La tradición nos da una respuesta: cuando un aprendiz de escriba le planteó la cuestión a su maestro este le respondió que el 1/64 que falta será siempre proporcionado por Toth al calculador que se coloque bajo su protección, lo cual podemos interpretar como una prueba de fe o como el canon estipulado para los calculadores por sus servicios.

Teorías

Se ha intentado explicar esta discrepancia de muchas maneras. Una de ellas es la que nos cuenta José Manuel Bueso (que fue, por cierto, quien llamó mi atención sobre el tema): "Recientemente se ha sugerido que se trata de un mecanismo de despiste deliberado; que hay que darle la vuelta a la tortilla, ya que la fracción verdaderamente significativa es 64/63, que proporciona una aproximación a la Coma [musical] pitagórica... Es decir, todo el simbolismo del Ojo Udja está organizado no para revelar, sino para esconder (o para "revelar" a los iniciados, ocultándolo a los profanos) un "número sagrado".

Otra interesante teoría es la que relaciona la ausencia de ese 1/64 con la ausencia de la pupila: parece ser que un circulito era la forma de indicar la unidad, circulito que podía servir para completar el dibujo y que al tiempo era representación de la totalidad que se estaba buscando. Con este juego de manos los escribas-maestros pretendían que sus alumnos experimentasen una profunda sensación de revelación al darse cuenta de que lo que faltaba era a la vez la totalidad, y que la iluminación venía del propio ojo de Horus. Desde luego, si la historia es cierta, eso era motivar a los alumnos y no lo que yo hago.

Una propuesta

De todas formas, yo voy a proponer otra: está claro que falta 1/64, pero únicamente porque hemos interrumpido el proceso en el sexto paso. ¿Por qué no seguir? ¿Por qué no continuar la compleción de la unidad obteniendo mitades de lo que falta? Los escribas sin duda conocían la respuesta: porque nunca terminaríamos. Pero sus alumnos no. Quizá la revelación buscada no fuese otra que la del infinito, y el golpe de efecto el profundo vértigo que produciría en los aprendices asomarse al insondable abismo de la pupila de Horus.

Notas:

1. Me pregunto si tendría Zenon en mente el Ojo Oudja cuando elaboró su paradoja de la dicotomía.
2. He encontrado las siguientes grafías para el calificativo del Ojo de Horus: wedjat, oudjat, oudjat, udja... Lo digo por si alguien decide investigar.

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Bibliografía

• Ifrah, p.417 y ss
• Libro de los Muertos
• Comunicación de José Manuel Bueso sobre una conferencia en la Biblioteca del British Museum.

Web

• El sistema de fracciones del Ojo de Horus

Epsilones

• Figuras imposibles: El Ojo de Horus.

Descubrimiento de las relaciones numéricas entre los sonidos armónicos.

Una de las aportaciones más importantes de Pitágoras fue su descubrimiento de que las longitudes de las cuerdas que emiten sonidos armónicos guardan entre sí relaciones numéricas simples: por ejemplo, dada la nota do, para conseguir otro do pero más bajo usaremos una cuerda el doble de larga, es decir, en relación 2:1, y para las notas intermedias en orden ascendente (re, mi, fa...) usaremos cuerdas cuyas longitudes mantengan, respecto de la original, las relaciones 16:9, 8:5, 3:2, 4:3, 6:5, 16:15.

	Posiblemente fue este el primer caso de descripción matemática de un proceso físico, pero para Pitágoras fue mucho más: razonó que si la música se podía explicar mediante cocientes de números enteros, el universo entero también podría explicarse con ellos. Dicho de otra manera, Pitágoras creía haber encontrado el secreto del universo, la gran fórmula mágica, el lenguaje de los dioses. Este exceso de optimismo tuvo dos consecuencias negativas. La primera fue que los pitagóricos se convirtieron en una especie de secta, con ceremonias secretas, y que confirieron a los números valores mágicos (lo cual, por otra parte, ya hacían anteriormente los mesopotámicos).
				F. Gaffurio, Theorica musica. (30 Kb)

La segunda fue incluso peor: estaban tan convencidos del poder explicativo de los cocientes de números enteros que cuando descubrieron la existencia de números que no se podían expresar así, por ejemplo la raíz cuadrada de dos o π, los vieron como una auténtica aberración, como algo que en realidad no podía existir. Hoy los llamamos irracionales.

Apéndice:

Habitualmente, las relaciones numéricas entre las notas musicales se expresan en función de su frecuencia (vibraciones por segundo), y tomando como base el do bajo, según se indica en la siguiente tabla:

De esta manera, el intervalo de quinta (el paso de do a sol), se obtiene multiplicando por 3/2; el intervalo de cuarta (paso de do a fa) multiplicando por 4/3, y así para los demás.

Obsérvese que si la longitud de la cuerda aumenta en cierta proporción, la frecuencia disminuye en esa misma proporción. El sentido físico de esto es el siguiente: la longitud de la cuerda es la mitad de la longitud de onda que genera al ser pulsada. Como v = λ·ν, donde v es la velocidad de propagación de la cuerda, λ la longitud de onda y ν la frecuencia, se tiene que si usamos cuerdas de las mismas características (y por tanto con la misma velocidad de propagación), la longitud de la cuerda y la frecuencia serán magnitudes inversamente proporcionales.

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Bibliografía

• Boyer, pp.85-86
• Fermat’s Last Theorem, pp.14-17
• e: The Story of a Number, p.188
• Alquimia & Mística, p.90.

Epsilones

• Música: Escala bien temperada.

Geometría con regla y compás.

Entre los griegos se consideraba que la forma correcta de resolver los problemas geométricos (ellos no usaban ecuaciones como nosotros: aún no había nacido Descartes) era utilizando únicamente dos intrumentos: la regla (sin graduar) y el compás.

La culpa es muy posible que sea de Platón, pues consideraba “por alguna mística razón solo conocida por él y su Dios geómetra” que resolver los problemas geométricos por medios mecánicos, es decir, cualquier otro que no fuese la regla y el compás, era vulgar y degradante. Así lo cuenta Plutarco en sus Vidas paralelas: “...Platón se indispuso e indignó contra ellos [Eudoxo y Arquitas], porque degradaban y echaban a perder lo más excelente de la geometría con trasladarse de lo incorpóreo e intelectual a lo sensible y emplearla en los cuerpos que son objeto de oficios toscos y manuales...”.

Uno puede pensar que esta obsesión de Platón por la regla y el compás era un puro capricho, y puede que acierte: posiblemente fue a causa del valor casi divino que daba a las ideas por lo que concedió especial importancia a unos objetos con una simetría tan perfecta como son rectas y circunferencias. Además, todo hay que decirlo, también debió influir cierto aristocrático desprecio por su parte hacia todo lo que sonase a oficio artesano.

Sin embargo, por aquel entonces el platonismo no era la única forma de pensar. La escuela de Demócrito había introducido el atomismo en geometría de tal modo que consideraban los segmentos, las superficies y volúmenes constituidos por una cantidad finita de átomos. Resulta que este método, aunque poco riguroso, permitía encontrar fácilmente nuevos resultados, y un futuro esplendoroso se abría para la geometría.

Pero no fueron por ahí los tiros. Los pensadores griegos se encontraron con dos métodos a su disposición: uno riguroso, pero estéril, y otro, el atomista, informal pero fértil. ¿Quién ganó? Pues fue el idealismo platónico el que venció al materialismo atomista, lo cual solo se explica si pensamos que las matemáticas griegas fueron el producto de una clase ociosa basada en la esclavitud y más interesada en la contemplación que en la invención: ¿para qué cambiar el mundo si a ellos les iba de miedo?

En fin, que armados con tan corto arsenal los griegos se lanzaron al estudio de la geometría. Y no les fue tan mal, aunque en su camino se encontraron con tres problemas que fueron incapaces de resolver: la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. La razón solo se supo dos mil años después: eran irresolubles. Pero esa, como dijo el poeta, es otra historia.

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Men of mathematics, pp.31-32; Vidas paralelas, tomo 2, p.85.

Los tres problemas clásicos de la geometría.

Como se cuenta en Geometría con regla y compás, en su afán de estudiar la geometría con la única ayuda de estos dos instrumentos, los griegos se encontraron con tres problemas que fueron incapaces de resolver. Y lo cierto es que nada en su descripción hace sospechar grandes dificultades: la cuadratura del círculo trata de construir un cuadrado con la misma superficie que un círculo dado, mientras que la trisección del ángulo busca dividir un ángulo dado en tres ángulos iguales. La duplicación del cubo tiene su propia leyenda: en tiempos de Pericles una epidemia de peste estaba diezmando la población. Los atenienses mandaron una delegación al oráculo de Delfos para preguntarle acerca de qué podían hacer para aplacar a los dioses. El Oráculo les contestó que debían duplicar en tamaño el altar cúbico dedicado a Apolo. Los griegos se pusieron a la faena y construyeron un altar cúbico con el doble de lado. Pero la peste no cesó. Y es que al doblar el lado habían multiplicado el volumen por ocho, y no es eso lo que se les pedía...

Imposibles...

Caprichos divinos aparte, lo cierto es que los problemas descritos no parecen tan difíciles, ¿verdad? Sin embargo, los griegos, que sabemos fueron excelentes geómetras, fracasaron en sus intentos de resolverlos. ¿Por qué? Pues muy sencillo: porque no se puede. Literalmente, los tres problemas describen tareas que son imposibles de realizar usando únicamente regla y compás.

Veamos por qué: cualquier operación que realicemos con una regla es equivalente a la resolución de una ecuación de primer grado, mientras que las realizadas con un compás equivalen a resolver ecuaciones de segundo grado, lo cual es lógico, pues con la regla dibujamos rectas, objetos que se expresan mediante ecuaciones de primer grado, y con el compás circunferencias, las cuales se expresan mediante ecuaciones de segundo grado. Dicho de otro modo: con la regla y el compás podemos realizar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, y raíces de índice igual a una potencia de dos.

Pero resulta que la resolución de la cuadratura del círculo requiere conocer el valor del número π, que es un número trascendente (es decir, que no se puede obtener como solución de ninguna ecuación algebraica); resulta también que para trisecar el ángulo es necesario realizar raíces cúbicas, y que para duplicar el cubo necesitamos la raíz cúbica de dos. Y como el cálculo de π y de raíces cúbicas no es posible, por lo dicho anteriormente, utilizando únicamente regla y compás, nuestros tres problemas se quedan sin solución.

Y lo más tremendo es que alguno de los resultados que justifican la imposibilidad de estos problemas, como por ejemplo la trascendencia de π, solo se obtuvieron veintitantos siglos después de que se planteasen.

...aunque no tanto

¿Quiere decirse entonces que no podemos resolver unos problemas en apariencia tan sencillos? No: los tres famosos problemas de la geometría griega solo son irresolubles si nos limitamos a la regla sin graduar y al compás. Pero las dificultades se desvanecen cuando podemos utilizar otro tipo de curvas o hacer marcas sobre nuestra regla. De hecho, no todos los griegos se plegaron a dicha limitación, y fueron capaces de resolver los problemas de marras utilizando nuevas y sorprendentes curvas, de las que a continuación doy algunos ejemplos:

• La espiral de Arquímedes: es el lugar geométrico descrito por un punto que se desplaza a lo largo de una semirrecta con velocidad uniforme al tiempo que esta gira, también uniformemente. El mismo Arquímedes la atribuye a su amigo Conon de Alejandría. Con ella se resuelve la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.
• La trisectriz de Hipias: curva inventada por Hipias de Ellis. Permite la duplicación del cubo y la trisección del ángulo.
• Las cónicas: quizá el descubrimiento más importante relacionado con los tres problemas sea el que realizó Menecmo intentando conseguir la duplicación del cubo: las cónicas, curvas que resultan de cortar un cono mediante un plano y que por su importancia merecen su propia historia.

¿Entonces?

Si ya los griegos los resolvieron, ¿dónde reside la importancia de estos tres problemas? Pues reside precisamente en que, gracias a la limitación de la regla y el compás, los matemáticos se han visto obligados a investigar nuevos campos en busca de nuevas herramientas que los resolviesen o de más profundas teorías que explicasen su imposibilidad. Y es que no hay nada como las dificultades para aguzar el ingenio.

De todas formas, no todo han sido aciertos: la aparente sencillez de la cuadratura del círculo ha obsesionado durante siglos a grandes y pequeñas mentes y dado lugar a todo tipo de extravagancias (ver como ejemplo el caso Hobbes). Por eso dijo Underwood Dudley que "Uno de los inesperados efectos beneficiosos de la televisión es que la gente ahora la ve en vez de producir panfletos cuadrando el círculo."

Aunque, la verdad, yo preferiría que el personal siguiese con los panfletos.

Para terminar, una curiosidad: la duplicación del hipercubo tetradimensional podría hacerse con regla y compás, pues en cuatro dimensiones lo que hace falta no es la raíz cúbica de dos, sino la raíz cuarta.

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Bibliografía

• Matemáticas e imaginación, pp.74 y ss
• Boyer, p.96 y ss,102,124,132,135,172
• Imposibilidad, p.309
• Carnaval Matemático, p.282 y ss
• Men of mathematics, pp.31-33
• Struik, 40
• Imposibility Theorems, Scientific American, January 2000, p.80
• Britannica (The three classical problems).

El lanzamiento parabólico: primero, los artistas

Una de las tesis del estudioso de historia de la ciencia Pierre Thuillier es que muchos conceptos geométricos fueron antes intuidos por los artistas que descubiertos por los matemáticos.

Un ejemplo llamativo es el que nos proporciona la Nuova scienza de Niccolo Tartaglia: en el libro el autor defiende, aunque solo como aproximación, la teoría escolástica de que un lanzamiento en caída libre se compone de un tramo rectilíneo en la dirección del lanzamiento, un arco de circunferencia, y otro tramo rectilíneo, este vertical, como se puede ver en el esquema de la izquierda.

			Sin embargo, en un grabado que aparece en la misma obra (abajo, detalle), el artista describe con bastante exactitud la trayectoria que hoy sabemos correcta: una parábola.

Lo que a mí más me sorprende es que Tartaglia no reparase en la curva representada por el dibujante en el grabado. Quizá ni siquiera lo miró.

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De Arquímedes a Einstein, p.278-279.

La cuarta dimensión.

Con un número podemos situar un punto sobre una recta previamente graduada. Para situar un punto sobre un plano necesitaremos dos números, la coordenadas x e y; y tres serán los números que especifiquen la posición de un punto en el espacio. Pero, ¿y si tomamos cuatro números? En tal caso estaríamos hablando de un punto situado en un lugar de ¡cuatro dimensiones! Pero, ¿existe eso?

La invención de la geometría analítica por Descartes permitió expresar los objetos geométricos mediante ecuaciones que relacionan sus coordenadas: así, x = 7 describe un punto en una recta; x + y = 7 una recta en el plano; y x + y + z = 7 un plano en el espacio. ¿Y si hacemos lo mismo con cuatro coordenadas? Siguiendo este proceso parece natural preguntarse si la ecuación x + y + z + t = 7 tiene algún sentido geométrico.

Lo cierto es que, con independencia de su existencia real, la geometría analítica permite estudiar la estructura y propiedades de espacios n-dimensionales, trabajo que emprendieron a mediados del siglo XIX Cayley en Inglaterra y Grassman en Alemania y con el que aumentaron el repertorio de nuevas geometrías que se había abierto con las geometrías no euclídeas. Algo más tarde, el francés Henri Poincaré llegaría a describir un método para visualizar la cuarta dimensión a base de entrenar la intuición mediante proyecciones sucesivas de objetos tridimensionales sobre tres o dos dimensiones.

A principios del siglo XX un actuario de seguros y aficionado a la pintura, Maurice Princet, introduciría el tema de la cuarta dimensión en los cenáculos artísticos parisinos. Fue esta una de las influencias reconocidas por los pintores e intelectuales cubistas, aunque estos otorgaron a la cuarta dimensión cualidades distintas de las otras tres y la consideraron como un lugar casi espiritual desde el que observar la realidad desde varias perspectivas simultáneamente. Dalí, en su Corpus hipercubus, volvería al tema de las cuatro dimensiones, aunque de un modo matemáticamente más riguroso.

La teoría de la Relatividad acabaría provisionalmente con todo esto al considerar el tiempo como la cuarta dimensión, aunque la física de supercuerdas, al plantear un universo de once dimensiones (una temporal y diez espaciales), ha introducido nuevas e interesantes variantes al asunto. De todas formas, hay que señalar que ya en 1919 Theodor Kaluza planteó la posibilidad de que hubiese físicamente más de tres dimensiones espaciales con una versión pentadimensional de de la relatividad general. El hecho de que nosotros solo percibamos tres se debe a que las dimensiones adicionales está curvadas sobre sí mismas, como explicitó Klein al refinar las ideas de Kaluza. Su tamaño: aproximadamente la longitud de Plank.

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Bestiario: la cuarta dimensión.

Bibliografía

• Boyer, pp.670-671
• Filosofía de la ciencia, p.123 y ss
• Escritos de arte de vanguardia, p.72
• The Elegant Universe, pp.185-192.