Aritmética

1. Sol. 1×1×10

2. Los números de 7 dígitos son 10 000 000 del 000 al 9 999 999.

Los números que empiezan con 0 son 1 000 000 del 0 al 999 999

Los números que empiezan con 1 son 1 000 000 del 1 000 000 al 1 999 999

Entonces hay 10 000 000 - 2 000 000 = 8 000 000 números

De estos los que empiezan con 9 son 1 000 000 y de esos terminar con 0 la décima parte, son 100 000

La respuesta es 100 000/8 000 000 = 1/80

3. A=40, B=39

4. Par. Puesto que el producto de los cuatro primeros es impar, todos ellos deben ser impares. Si sumamos cuatro números impares el resultado es par, como el último número también es par y la suma de los seis números es par, entonces el quinto número debe ser par.

5. El número debe ser múltiplo de 5 y 6, es decir, debe ser múltiplo de 30. El menor múltiplo de 30 que deja residuo 1 al dividirse por 7 es el 120.

6. Construimos una tabla con las potencias del 2 y nos fijamos sólo en las dos últimas cifras, no es necesario obtener la potencia, sino sólo trabajaremos con las últimas dos cifras:

n

Últimas 2 cifras de 2 n

n

Últimas 2 cifras de 2 n

1

2

13

92

2

4

14

84

3

8

15

68

4

16

16

36

5

32

17

72

6

64

18

44

7

28

19

88

8

56

20

76

9

12

21

52

10

24

22

04

11

48

23

08

12

96

24

16


Tenemos un ciclo empezando en 2 al cuadrado = 4 y que termina en 2 21. A partir de la potencia 22 se repite el ciclo y así sucesivamente. Es decir cada 20 números, a partir de la segunda potencia, tenemos las últimas dos cifras de la potencia iguales. Si dividimos 222/20 tenemos 2 de residuo, por lo tanto las últimas dos cifras de 2 222 son las mismas que las de 2 al cuadrado es decir 04. (Cuando el residuo al dividir entre 20 es 1 entonces las dos últimas cifras son las mismas que las de 2 a la 21 potencia , es decir, 52).

7. Con 1997 números se completan 499 filas y sobra un número (1997 = 499×4 + 1) El 1997 estará en la fila 500. En las filas pares sólo las columnas B y D son impares - el 1997 estará en la columna D.

8. 504 = 2 3 ×3 2 ×7. Como los números cuadrados tienen exponentes pares, el menor número por el que debemos multiplicar a 504 para obtener un cuadrado es 2×7.

9. 180 = 32×22×5. Como el 5 sólo aparece una vez, no puede ser factor de los números iguales. Las posibles tripletas de números son: (1,1,180), (2,2,45), (3,3,20) y (6,6,5) y la menor suma es 17.

10. 7800 = 2 3 ×3×5 2 ×13, por lo que tiene (3+1)(1+1)(2+1)(1+1) = 48 divisores. Si d es divisor de 7800, entonces 7800/ d también es su divisor y 7800 = d×7800/d. Por lo tanto el 7800 puede escribirse como producto de dos divisores, de 48/2 = 24 maneras.

11. abcabc = abc×1001 = abc×7×11×13

12. Si analizamos los números vemos que en todos tienen la secuencia 1573. Por lo tanto todos van a ser divisibles por 1573 (15731573 = 1573×10001, 157315731573 = 1573×100010001, etc.) 1573 = 11 al cuadrado × 13 por lo tanto no es primo. Como es factor de todos los demás estos tampoco pueden ser primos

13. Encontramos la factorización prima :

1470 = 2×3×5×7 2; 126 = 2×3 2 ×7 ---- m.c.d. = 2×3×7 m.c.m. = 2×3 2 ×5×7 2.

Para que dos números tengan el mismo m.c.d deben tener como factores 2×3×7, y para que tengan el mismo m.c.m. el producto de todos sus demás factores debe ser 3×5×7. Sean m y n los números buscados


m = 2×3×7×p y n = 2×3×7×q y p×q = 3×5×7.

Entonces:

p

Q

m

n

1

3×5×7

2×3×7

2×3 2×5×7 2

3

5×7

2×3 2×7

2×3×5×7 2

5

3×7

2×3×5×7

2×3 2×7 2

7

3×5

2×3×7 2

2×3 2×5×7

 

14. Para encontrar el valor de b.

ab6
x ab6
... 6b+3 6
... 6b
a b 6

6b + 6 b + 3 = 10 n + b n = 1, 2, 3, ....

11b+3 = 10 n

bb + 3 = 10 n Como 10 n termina en 0, b = 7



Para encontrar el valor de "a".

a76
x a76
6a+4 5 6
... 3 2
6a
... a 7 6

6a + 4 + 3 + 6 a = a + 10

11a + 7 = 10 n

aa + 7 = 10 n para que termine en 0, a = 3

Entonces el número es 376


15. Un número capicúa de 5 cifras es de la forma abcba

Como el número termina en 7 y se pasó 4 de un número capicúa 7 - 4 = 3

El capicúa es 3 bcb3 y el número es 3 bcb7. Al sumarle 7 la última cifra será 4 por lo que el otro capicúa es 4 ded4.
La única forma de pasar de 3 a 4 en las unidades de millar es que llevemos 1 en todas las cifras,

3bcb7
+ 7
4 ded4

para llevar 1 al sumar 1 a "b" y "c" la única forma es que

b=c=9

El número buscado es 39997


16. A=7, B=8, C=3

17. ONE=650

18. Puesto que los dígitos no se repiten, los números que formó Pablo son permutaciones del abc, son 6 en total:
abc, acb, bac, bca, cab, cba. Cada dígito aparece dos veces en las unidades, en las decenas y en las centenas, por lo que si sumamos todos los números obtenemos:

2(a + b + c)100 + 2( a + b + c)10 +2( a + b + c)

Y como a + b + c = 14 entonces

2( a + b + c)100 + 2( a + b + c)10 +2( a + b + c) = 2×14(100 + 10 + 1)

= 2×14×111 = 3108.

19. Obviamente el número no puede tener una cifra.

Supongamos que el número de dos cifras : 10 a + b = 5 × a × b ( a desigual a 0)

10 ª + b termina en b y 5 × a × b termina en 0 ó en 5 (por ser múltiplo de 5)

Entonces b = 0 ó b = 5.

Si b = 0 ----- 5 × a × b = 0 ----- a = 0 no puede ser.

Si b = 5, 25 a = 10 a + 5, 15 a = 5, pero a es un dígito. Por lo tanto no puede ser de dos cifras.

Supongamos que el número tiene tres cifras 100 a + 10 b + c = 5 × a × b × c

100a + 10 b + c termina en c, 5 × a × b × c debe terminar en 5 ó 0, ya vimos que no puede terminar en 0, pues todos serían 0.

Entonces c = 5 ----- 100 a + 10 b + 5 = 5 × a × b × 5. Como 100 a + 10 b + 5 es un número impar, a × b es impar, por lo que a y b son impares.

Puesto que estamos buscando el menor número posible, supongamos

a = 1 ----- 100 + 10 b + 5 = 25b ----- 105 = 15 b ----- b = 7

Luego el número buscado es 175

20. Un cuadrado perfecto es un número en cuya factorización prima todos los factores tienen exponentes pares. La condición ii) implica que los factores de los números que pertenecen al conjunto S tienen en su factorización potencias impares, ya que, de esta forma, ninguno es un cuadrado pero el producto de cualesquiera dos de ellos sí lo es. Los primeros candidatos a pertenecer a S son 2, 2 3, 2 5, 2 7, 2 9. Podemos agregar cualquier número, menor que 1000 que tenga alguno de estos factores y el otro factor sea un cuadrado. Es fácil que se le escapen algunos de los elementos si no se hace una búsqueda sistemática.

S={2, 2 2, 2 5, 2 7, 2 9, 2×3 2, 2 3 ×3 2 , 2 5×3 3, 2×3 4, 2 3×3 4, 2×5 2, 2 3×5 2, 2 5 ×5 2 , 2 7×5 2, 2×7 2,
2 3×7 2, 2×11 2, 2 3×11 2, 2×13 2, 2×17 2, 2×19 2, 2×3 2×5 2, 2×3 2×7 2}

Son 23 los elementos de S.

21. Julia anota los números del 1 (1 + 0 + 0) al 27 (9 + 9 + 9). Lo peor que puede pasar es que con las primeras 27 tarjetas todos los números que anote sean diferentes. Pero el 1 y el 27 ya no podrán salir puesto que las únicas tarjetas que los producen ya fueron rotas. Las próximas 25 tarjetas, en el peor de los casos, harán que se repita por segunda vez cada uno de los números restantes. La siguiente tarjeta hará que un número aparezca por tercera vez. Es decir, que si le pedimos a Julia que saque 27 + 25 + 1 = 53 tarjetas, podemos estar seguros que al menos un número se repetirá tres veces o más.

22. Puesto que el precio es menor a 500, aplicando el principio de Dirichlet tenemos que al menos un precio se repite:

Nuevamente aplicando el principio de Dirichlet, puesto que son sólo 4 nacionalidades, dos personas de la misma nacionalidad deben haber pagado el mismo precio.

Para los precios del 1 al 499 hubo al menos un boleto comprado, nos quedan todavía 1997-499 = 1498 boletos. Atendiendo la condición de que el boleto que más se repitió fue 10 veces y ya llevamos una, los primeros [1498/9] = 166 boletos se vendieron 10 veces y nos restan 4 boletos más que corresponden al precio de 167 pesos. En resumen, se compraron 10 boletos de los precios del 1 al 166, 5 del precio 167 y uno de cada uno de los restantes precios.

23. x = a.aaaa... ----- x = a×1.1.... y = b = 0. bbbb... ----- y = b×0.11...

b=1 ----- a=4,5,6,7,8 ó 9;

b=2 ----- a= 8 ó 9


24. Al iniciar la paridad de los cobres y los niqueles es diferente y en cualquier jugada que se haga, la paridad de las dos cambia por lo que no es posible tener la misma paridad de ambas y por lo tanto nunca podrán ser iguales.